Traduction de Applied Pure Mathematics<\/a> par Ben Recht<\/a> sur Substack, le 18 septembre 2026.<\/p>\n\n\n\n Bonjour \u00e0 tous, chers lecteurs d\u2019argmin ! Avec la reprise du semestre d\u2019automne, le nombre de publications va \u00e9galement augmenter. Je m\u2019engage donc \u00e0 r\u00e9diger de courts titres descriptifs pour vous aider \u00e0 vous y retrouver parmi les diff\u00e9rents fils de discussion.<\/em><\/p>\n\n\n\n De nombreux lecteurs m\u2019ont demand\u00e9 d\u2019\u00e9crire sur la conqu\u00eate des math\u00e9matiques par les entreprises d\u2019IA. L\u2019article d\u2019aujourd\u2019hui est une premi\u00e8re tentative \u2013 mais en aucun cas la derni\u00e8re \u2013 pour appr\u00e9hender notre nouvelle r\u00e9alit\u00e9 math\u00e9matique.<\/em><\/p>\n\n\n\n Au d\u00e9but de ma carri\u00e8re, j\u2019ai eu la chance d\u2019\u00eatre pris dans une fr\u00e9n\u00e9sie de recherche fascinante \u00e0 la crois\u00e9e des math\u00e9matiques pures et appliqu\u00e9es : la ru\u00e9e vers l\u2019or de la d\u00e9tection compress\u00e9e. La d\u00e9tection compressive s\u2019interrogeait sur la possibilit\u00e9 de compresser les signaux au moment m\u00eame de la mesure. Plut\u00f4t que de capturer une image avec un appareil photo haute r\u00e9solution puis de la compresser au format JPEG, pourrait-on collecter un nombre d\u2019\u00e9chantillons \u00e9gal au nombre d\u2019octets du fichier JPEG ? La d\u00e9tection compressive s\u2019appuyait sur des math\u00e9matiques avanc\u00e9es issues de l\u2019analyse fonctionnelle g\u00e9om\u00e9trique, de la g\u00e9om\u00e9trie convexe et de la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s. Elle a donn\u00e9 naissance \u00e0 de nombreuses applications techniques, allant de la r\u00e9duction des temps de capture en IRM \u00e0 l\u2019am\u00e9lioration des syst\u00e8mes de recommandation de contenu.<\/p>\n\n\n\n Bien que l\u2019on puisse constater l\u2019influence de ce domaine dans de nombreux secteurs d\u2019application, les math\u00e9matiques de la d\u00e9tection compress\u00e9e n\u2019ont jamais \u00e9t\u00e9 v\u00e9ritablement normatives. Les th\u00e9or\u00e8mes reposaient toujours sur des hypoth\u00e8ses concernant la r\u00e9alit\u00e9 qui ne pouvaient \u00eatre v\u00e9rifi\u00e9es ou exigeaient des syst\u00e8mes de mesure trop co\u00fbteux ou peu pratiques. Pourtant, les math\u00e9matiques de la d\u00e9tection compressive nous ont aid\u00e9s \u00e0 nous concentrer sur une vision commune des principes de conception. Elles nous ont aid\u00e9s \u00e0 concevoir de nouveaux algorithmes. Elles nous ont aid\u00e9s \u00e0 construire de nouveaux sch\u00e9mas de mesure r\u00e9sistants au bruit. Elles nous ont aid\u00e9s \u00e0 identifier quelles autres structures de syst\u00e8me se pr\u00eataient aux techniques de d\u00e9tection compressive. Les math\u00e9matiques pures nous ont fourni un cadre pour entrevoir ce qui \u00e9tait possible.<\/p>\n\n\n\n Si ce formalisme math\u00e9matique s\u2019est r\u00e9v\u00e9l\u00e9 d\u2019une efficacit\u00e9 d\u00e9mesur\u00e9e, il s\u2019accompagnait d\u2019un inconv\u00e9nient manifestement n\u00e9faste. C\u2019est Shahar Mendelson qui a le mieux d\u00e9crit ce probl\u00e8me g\u00e9n\u00e9ral des math\u00e9matiques pures appliqu\u00e9es dans une conf\u00e9rence qu\u2019il a donn\u00e9e lors du COLT 2014. Les math\u00e9maticiens appliqu\u00e9s doivent souvent construire un gigantesque \u00e9chafaudage de mod\u00e9lisation math\u00e9matique pour r\u00e9soudre un probl\u00e8me. Cet \u00e9chafaudage engendre de nouvelles \u00e9nigmes math\u00e9matiques qui ne sont pas directement li\u00e9es au probl\u00e8me initial, mais qui s\u00e9duisent ceux qui cherchent \u00e0 le r\u00e9soudre. On voit alors appara\u00eetre des dizaines d\u2019articles de suivi qui r\u00e9solvent ces \u00e9nigmes, mais en oubliant le probl\u00e8me qui nous int\u00e9ressait au d\u00e9part.<\/p>\n\n\n\n C\u2019est la culture du \u00ab probl\u00e8me ouvert \u00bb, et elle est corrosive. Elle conduit \u00e0 une chasse aux troph\u00e9es, o\u00f9 les gens se livrent \u00e0 une course pour devancer les autres, consultent des amis experts \u00e0 la recherche d\u2019id\u00e9es secr\u00e8tes, ou s\u2019\u00e9crasent mutuellement avec des math\u00e9matiques toujours plus compliqu\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n Cette f\u00e9tichisation de la r\u00e9solution d\u2019\u00e9nigmes comme signe de g\u00e9nie est depuis longtemps une tendance destructrice dans les math\u00e9matiques au sens large. Il est facile de se laisser emporter par le frisson que cela procure. Les math\u00e9matiques sont sans doute la discipline acad\u00e9mique la plus m\u00e9ritocratique. Il y a des probl\u00e8mes pos\u00e9s, et ceux qui les r\u00e9solvent sont consid\u00e9r\u00e9s comme les plus intelligents. Tout le monde oublie que la seule raison pour laquelle ces probl\u00e8mes conf\u00e8rent un statut, c\u2019est que (a) ils sont actuellement non r\u00e9solus et (b) un nombre suffisant de math\u00e9maticiens a d\u00e9cid\u00e9 qu\u2019ils valaient la peine d\u2019\u00eatre r\u00e9solus. Cette partie (b) n\u2019est pas m\u00e9ritocratique.<\/p>\n\n\n\n C\u2019est pourquoi beaucoup sont perplexes et en col\u00e8re contre les math\u00e9maticiens en activit\u00e9 qui tentent d\u2019expliquer que la discipline math\u00e9matique consiste \u00e0 comprendre, et non \u00e0 prouver des choses. Pour de nombreux observateurs, m\u00eame ceux qui aspirent \u00e0 devenir math\u00e9maticiens, les maths semblent con\u00e7ues comme une comp\u00e9tition d\u00e8s le d\u00e9part. Ce ne sont que des examens bas\u00e9s sur l\u2019apprentissage par c\u0153ur jusqu\u2019\u00e0 l\u2019universit\u00e9. R\u00e9ussir haut la main le SAT \u00e0 7 ans. Remporter la m\u00e9daille d\u2019or de l\u2019IMO \u00e0 14 ans. Obtenir le maximum \u00e0 l\u2019examen Putnam \u00e0 19 ans.<\/p>\n\n\n\n Votre r\u00e9compense : la permission de travailler sur les \u00e9nigmes de votre choix, sans avoir \u00e0 vous justifier, pour le reste de votre vie. Les laur\u00e9ats ne sont pas tenus d\u2019expliquer quoi que ce soit. Ils doivent peut-\u00eatre enseigner le calcul diff\u00e9rentiel et int\u00e9gral, mais ils ne sont pas oblig\u00e9s de le faire correctement.<\/p>\n\n\n\n Vu de l\u2019ext\u00e9rieur, on comprend pourquoi les gens pensent que les math\u00e9matiques se r\u00e9sument \u00e0 remporter ces concours et \u00e0 prouver ce qui est vrai. Les math\u00e9matiques ne diffusent pas beaucoup de signaux indiquant que la \u00ab compr\u00e9hension \u00bb est au c\u0153ur de cette qu\u00eate. La plupart des gens per\u00e7oivent les math\u00e9matiques comme une culture de jeux t\u00e9l\u00e9vis\u00e9s. La culture math\u00e9matique est impitoyablement comp\u00e9titive, et elle donne \u00e0 beaucoup de gens le sentiment d\u2019\u00eatre stupides.<\/p>\n\n\n\n Les agissements de nombreux math\u00e9maticiens de renom n\u2019ont fait que donner du cr\u00e9dit \u00e0 leurs d\u00e9tracteurs. Les guerres pour la paternit\u00e9 des d\u00e9couvertes et la course \u00e0 la primeur ont d\u00e9sormais ruin\u00e9 deux des Probl\u00e8mes du Mill\u00e9naire de Clay. Cela devra changer \u00e0 la lumi\u00e8re des \u00e9v\u00e9nements r\u00e9cents, o\u00f9 des entreprises d\u2019IA ont r\u00e9solu des probl\u00e8mes math\u00e9matiques que peu de gens pensaient \u00e0 leur port\u00e9e. Lorsque les ordinateurs accomplissent quelque chose que nous ne leur croyions pas capable de faire, la r\u00e9action ne devrait pas consister \u00e0 r\u00e9diger des articles interminables expliquant qu\u2019Eliezer Yudkowsky avait raison et que les machines vont tous nous tuer. Au contraire, nous devons r\u00e9ajuster notre cadre de r\u00e9f\u00e9rence concernant ce que nous pensions \u00eatre vrai.<\/p>\n\n\n\n En effet, je n\u2019ai rien appris sur la dynamique des fluides gr\u00e2ce \u00e0 la solution propos\u00e9e par OpenAI pour le probl\u00e8me de Navier-Stokes du Prix du Mill\u00e9naire de Clay. Ce probl\u00e8me est exactement le genre d\u2019\u00e9nigme artificielle que je d\u00e9plorais plus haut. La r\u00e9solution du probl\u00e8me de Navier-Stokes en elle-m\u00eame ne nous apprend rien sur la dynamique des fluides que les \u00e9quations tentent de mod\u00e9liser.<\/p>\n\n\n\n Cela dit, j\u2019ai beaucoup appris de cette pr\u00e9tendue r\u00e9solution. J\u2019ai appris que le pas entre la r\u00e9solution m\u00e9canique des probl\u00e8mes de l\u2019IMO et les Prix du Mill\u00e9naire \u00e9tait bien plus court que je ne l\u2019avais imagin\u00e9. Si l\u2019on construit un algorithme dou\u00e9 pour r\u00e9soudre les probl\u00e8mes de l\u2019IMO, et qu\u2019on lui fournit les bons ingr\u00e9dients et les ressources de calcul ad\u00e9quates, on peut \u00e9galement r\u00e9soudre des probl\u00e8mes math\u00e9matiques complexes. Autrement dit, une grande partie des math\u00e9matiques consiste \u00e0 entra\u00eener des personnes<\/em> \u00e0 atteindre des performances maximales. Nous avons d\u00e9j\u00e0 cr\u00e9\u00e9 une batterie de tests, soigneusement calibr\u00e9s selon les meilleures m\u00e9thodes psychom\u00e9triques pour rep\u00e9rer les g\u00e9nies math\u00e9matiques. Entra\u00eener des ordinateurs \u00e0 optimiser ces performances revient finalement \u00e0 r\u00e9soudre ces probl\u00e8mes eux-m\u00eames. Que sont les probl\u00e8mes du Mill\u00e9naire, sinon l\u2019examen final de math\u00e9matiques de l\u2019humanit\u00e9 ?<\/p>\n\n\n\n Malheureusement, cela semble tout \u00e0 fait logique avec le recul !<\/p>\n\n\n\n Si telle est la le\u00e7on \u00e0 en tirer, il y a une conclusion amusante. M\u00eame si l\u2019on a l\u2019impression qu\u2019il faut \u00eatre un prodige de l\u2019IMO pour mettre les pieds dans l\u2019ar\u00e8ne math\u00e9matique, \u00eatre un excellent r\u00e9solveur de probl\u00e8mes de l\u2019IMO ne signifie pas pour autant que l\u2019on deviendra un grand math\u00e9maticien. Pour cela, il faut faire appel \u00e0 d\u2019autres talents. Malgr\u00e9 les efforts de nombreuses personnes intelligentes et bien intentionn\u00e9es, ces talents restent indescriptibles. Ils ne sont certainement pas mesurables \u00e0 l\u2019aune de crit\u00e8res de r\u00e9f\u00e9rence.<\/p>\n\n\n\n \u00c0 l\u2019\u00e8re d\u2019une culture de l\u2019intelligence artificielle r\u00e9solument anti-intellectuelle, les math\u00e9maticiens, tant th\u00e9oriciens qu\u2019appliqu\u00e9s, doivent continuer \u00e0 s\u2019efforcer de d\u00e9finir clairement ce que sont exactement ces talents. Les d\u00e9clarations<\/a> formul\u00e9es jusqu\u2019\u00e0 pr\u00e9sent, qui d\u00e9crivent en quoi les programmes math\u00e9matiques vont au-del\u00e0 des valeurs de v\u00e9rit\u00e9 de leurs th\u00e9or\u00e8mes associ\u00e9s, constituent un bon d\u00e9but, m\u00eame si elles ne font pas l\u2019unanimit\u00e9. Il faut que davantage de personnes prennent la parole pour raconter en quoi les math\u00e9matiques, m\u00eame les plus pures, sont pr\u00e9cieuses pour les scientifiques, les ing\u00e9nieurs et tout le monde.<\/p>\n\n\n\n Je peux d\u00e9crire ma propre exp\u00e9rience. Bien que je me soucie beaucoup moins de d\u00e9montrer des th\u00e9or\u00e8mes qu\u2019au d\u00e9but de ma carri\u00e8re, je me consid\u00e8re toujours comme un math\u00e9maticien pur appliqu\u00e9. Les math\u00e9matiques appliqu\u00e9es constituent un langage formel qui jette un pont entre deux mondes apparemment inconciliables. Les math\u00e9matiques sont une pratique d\u00e9ductive qui combine des axiomes selon un ensemble de r\u00e8gles bien d\u00e9finies pour g\u00e9n\u00e9rer des lemmes, des th\u00e9or\u00e8mes et des corollaires. Les sciences empiriques et l\u2019ing\u00e9nierie sont inductives<\/em>. Nous confirmons les th\u00e9ories lorsqu\u2019elles permettent de faire des pr\u00e9dictions correctes, en commettant d\u00e9lib\u00e9r\u00e9ment le sophisme logique consistant \u00e0 affirmer la cons\u00e9quence. Cela ne rend pas la science erron\u00e9e. Cela signifie simplement, comme David Hume nous l\u2019a dit il y a trois cents ans, que les math\u00e9matiques ne peuvent pas justifier la science.1<\/a><\/sup>Un argument souvent avanc\u00e9 sur les r\u00e9seaux sociaux est que, d\u00e8s lors que les math\u00e9matiques c\u00e9deront la place \u00e0 l\u2019IA, toutes les sciences suivront. Cela finira peut-\u00eatre par \u00eatre vrai. Les math\u00e9matiques ont certes \u00e9t\u00e9 boulevers\u00e9es de mani\u00e8re choquante cet \u00e9t\u00e9, mais ce n\u2019est pas (encore) le cas de la science. Cependant, cela ne s\u2019ensuit pas logiquement.<\/span><\/p>\n\n\n\n Les math\u00e9matiques appliqu\u00e9es constituent donc un langage logique permettant de d\u00e9crire des processus inductifs. Elles sont, euh, d\u2019une efficacit\u00e9 d\u00e9mesur\u00e9e dans cette t\u00e2che<\/a>. Comme je l\u2019ai soulign\u00e9 plus haut dans ma discussion sur la d\u00e9tection compressive, elles ne peuvent jamais sp\u00e9cifier parfaitement ce que vous devriez faire dans la pratique. Au contraire, elles agissent comme une sorte de dessin technique linguistique, permettant aux communaut\u00e9s de scientifiques de construire des th\u00e9ories complexes et aux ing\u00e9nieurs de construire des syst\u00e8mes complexes. Les math\u00e9matiques pures fournissent aux math\u00e9maticiens appliqu\u00e9s de nouveaux stylos et pinceaux pour ces dessins.<\/p>\n\n\n\n C\u2019est pourquoi j\u2019appr\u00e9cie (et j\u2019ai utilis\u00e9 tout au long de cet article) le terme de Jordan Ellenberg : math\u00e9matiques pures appliqu\u00e9es.<\/em> Les math\u00e9matiques appliqu\u00e9es d\u00e9signent souvent simplement les math\u00e9matiques des \u00e9quations aux d\u00e9riv\u00e9es partielles. Les math\u00e9matiques pures appliqu\u00e9es d\u00e9signent toute<\/em> application de n\u2019importe quelle<\/em> branche des math\u00e9matiques \u00e0 n\u2019importe quoi<\/em> en dehors du monde clos des math\u00e9matiques elles-m\u00eames. On ne sait jamais quel recoin insolite des vastes biblioth\u00e8ques de math\u00e9matiques \u00ab apparemment inutiles \u00bb vous aidera \u00e0 donner un sens \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n Permettez-moi de donner un exemple d\u2019utilisation inattendue de ces outils, tir\u00e9 de mon exp\u00e9rience lors de la ru\u00e9e vers l\u2019or de la d\u00e9tection compressive. Avais-je besoin d\u2019\u00e9tudier l\u2019analyse p-adique<\/a> en licence ? Peut-\u00eatre pas, mais cela a ancr\u00e9 dans mon esprit un ensemble de r\u00e9gularit\u00e9s et de sch\u00e9mas. Je me suis souvenu du th\u00e9or\u00e8me de Bochner<\/a> sur les groupes ab\u00e9liens localement compacts lorsque Ali Rahimi et moi-m\u00eame essayions de donner un sens \u00e0 notre code g\u00e9n\u00e9rant des caract\u00e9ristiques al\u00e9atoires. Cela a donn\u00e9 lieu \u00e0 un article tr\u00e8s int\u00e9ressant ayant un impact pratique consid\u00e9rable.<\/a> Le r\u00e9seau de connaissances que j\u2019avais tiss\u00e9 en suivant des cours insolites et en lisant des ouvrages math\u00e9matiques \u00e9sot\u00e9riques a fa\u00e7onn\u00e9 ma vision de ce probl\u00e8me d\u2019apprentissage automatique appliqu\u00e9. L\u2019IA serait probablement capable d\u2019\u00e9tablir ce lien aujourd\u2019hui, mais ma formation personnelle reste indispensable pour cr\u00e9er la consigne.<\/p>\n\n\n\n Lors du premier cours de mon premier cours de math\u00e9matiques \u00e0 l\u2019universit\u00e9, le l\u00e9gendaire professeur de Chicago Paul Sally<\/a> (IYKYK) nous a aboy\u00e9 qu\u2019il n\u2019\u00e9tait pas l\u00e0 pour nous enseigner des faits, mais pour remettre de l\u2019ordre dans nos cerveaux. Sally a consacr\u00e9 sa carri\u00e8re \u00e0 l\u2019enseignement des math\u00e9matiques, \u00e9largissant avec passion la conception de ce qu\u2019est un math\u00e9maticien. Pour Sally, les math\u00e9matiques n\u2019\u00e9taient pas une comp\u00e9tition. C\u2019\u00e9tait une fa\u00e7on de voir les choses. Cela peut encore l\u2019\u00eatre, m\u00eame si nos ordinateurs nous surpassent d\u00e9sormais.<\/p>\n\n\n\n Fichier Excel des\u00a0traductions<\/a> par\u00a0Gilles en vrac<\/em> Quelques r\u00e9flexions sur les math\u00e9matiques en tant que technologie culturelle et sociale. Traduction de Applied Pure Mathematics par Ben Recht sur Substack, le 18 septembre 2026. Bonjour \u00e0 tous, chers lecteurs d\u2019argmin ! Avec la reprise du semestre d\u2019automne, le nombre de publications va \u00e9galement augmenter. Je m\u2019engage donc \u00e0 r\u00e9diger de courts titres descriptifs … <\/p>\n
\n\n\n\n
Fiches<\/a> avec les premi\u00e8res phrases (et non seulement les titres)
Les\u00a0caract\u00e8res gras<\/strong>\u00a0dans le texte sont de Gilles.<\/p>\nNotes <\/h3>