Le bruit aléatoire peut briser les symétries et améliorer la stabilité des comportements collectifs
Traduction de Noise and diversity can boost stability par Raissa M. D’Souza dans Science, le 17 septembre 2026.
Des comportements collectifs fascinants apparaissent lorsqu’un grand groupe d’éléments simples interagit (1), comme le clignotement synchronisé des lucioles ou le vol en formation des oiseaux. Selon la théorie dominante, ces comportements sont plus stables lorsque les éléments individuels sont très similaires (avec des paramètres quasi identiques, tels que leurs caractéristiques) (2, 3). Cela contraste avec de nombreux exemples tirés du monde réel (4, 5). Les lucioles, qui agissent comme des oscillateurs bruyants et irréguliers, clignotent néanmoins de manière synchrone au sein de leurs colonies. Les réseaux électriques sont délibérément conçus avec des sources d’énergie mixtes et des temps de réponse disparates afin de favoriser la stabilité (3, 6). Cependant, l’analyse de la stabilité des systèmes complexes hétérogènes représente un défi. À la page 1241 de ce numéro, Montanari et al. (7) présentent une nouvelle théorie qui montre comment l’hétérogénéité des paramètres et le bruit peuvent favoriser la stabilité. Ces résultats établissent les fondements théoriques permettant de déterminer quand et pourquoi le désordre constitue un atout pour la stabilité, ouvrant ainsi de nouvelles voies pour la compréhension et le contrôle des comportements collectifs.
De nombreux systèmes complexes peuvent être décrits comme des réseaux. Dans un essaim de lucioles, chaque luciole peut être représentée par un nœud, et des arêtes relient les nœuds qui interagissent. Les lucioles interagissent généralement par le biais de signaux et de l’accouplement. Si l’interaction est unidirectionnelle — par exemple, un mâle clignotant pour attirer l’attention d’une femelle —, l’arête est orientée, indiquant un flux unidirectionnel de l’émetteur vers le récepteur. Si l’interaction est réciproque, comme dans le cas d’un couple de lucioles s’accouplant, l’arête est non orientée, indiquant la nature bidirectionnelle de l’interaction. Quoi qu’il en soit, le comportement de chaque luciole suit la même règle générale (dynamique nodale), mais avec des paramètres potentiellement différents, tels qu’une fréquence de clignotement préférée et des partenaires d’interaction distincts. Ainsi, chaque nœud apporte une équation au système, et un comportement collectif, tel que le clignotement synchronisé, doit satisfaire à toutes ces équations.
La stabilité d’un comportement particulier peut être évaluée à l’aide d’une matrice jacobienne — une grille de nombres où chaque ligne correspond à un nœud spécifique et où chaque colonne de cette ligne indique comment ce nœud réagit à un léger changement chez un autre nœud. Dans l’exemple des lucioles, chaque élément de la matrice indique comment une luciole réagit à une légère perturbation (perturbation) dans le comportement d’une autre luciole du système. Une propriété intrinsèque d’une matrice est qu’elle possède un ensemble de vecteurs propres et de valeurs propres. Pour la matrice jacobienne, chaque vecteur propre suit une direction dans laquelle un système se déforme en réponse à une perturbation, et la valeur propre associée indique si cette déformation s’amplifie ou s’atténue. Si toutes les valeurs propres sont négatives, toute perturbation s’atténuera, stabilisant ainsi le comportement. Ainsi, plus la plus grande valeur propre d’une matrice jacobienne est négative, plus les perturbations s’atténuent rapidement et plus le comportement collectif est stable.
Montanari et al. ont utilisé cette idée pour déterminer les types de systèmes pouvant tirer parti de l’hétérogénéité afin d’accroître la stabilité d’un comportement collectif. Ils ont élaboré une équation permettant d’identifier les valeurs optimales des paramètres et les structures de réseau qui minimisent la plus grande valeur propre de la matrice jacobienne (et maximisent ainsi la stabilité). En étudiant la géométrie de l’équation, les auteurs ont démontré que si les valeurs optimales des paramètres sont hétérogènes, la matrice jacobienne doit être non hermitienne (en substance, la matrice n’est pas égale à sa transposée). La structure de la matrice jacobienne est influencée par les symétries sous-jacentes de la dynamique des nœuds et de la structure du réseau. Les réseaux comportant des arêtes orientées peuvent présenter une matrice jacobienne non hermitienne pour une dynamique des nœuds du premier ordre impliquant une dimension de comportement (p. ex., la phase d’un oscillateur) et son taux de variation dans le temps. En revanche, pour qu’un réseau à arêtes non orientées possède une matrice jacobienne non hermitienne, il faut une complexité supplémentaire dans la dynamique nodale, telle que le suivi de deux dimensions de comportement (p. ex., à la fois la phase et l’amplitude d’un oscillateur) ou l’utilisation d’une dynamique du second ordre. Cela établit des critères permettant de déterminer dans quels cas des valeurs de paramètres hétérogènes peuvent favoriser la stabilité.
Cependant, trouver des valeurs de paramètres hétérogènes qui optimisent la stabilité dans un grand réseau peut s’avérer ardu, car chaque nœud peut en avoir une unique. Au lieu de cela, exiger que tous les nœuds aient la même valeur de paramètre simplifie le problème, le réduisant à la recherche de la valeur homogène optimale. Montanari et al. ont démontré que, pour une classe spécifique de réseaux à arêtes orientées, la solution homogène optimale se situe en un point de selle de la surface mathématique décrivant la plus grande valeur propre de la matrice jacobienne (en un point de selle, la pente est nulle, mais les valeurs augmentent dans certaines directions et diminuent dans d’autres). L’application d’un bruit aléatoire ferait glisser le système vers un point où les paramètres hétérogènes renforcent la stabilité. Cela démontre théoriquement que le désordre (bruit et hétérogénéité) peut favoriser la stabilité d’un comportement collectif.
Des simulations informatiques de systèmes plus réalistes ont montré que de faibles niveaux de bruit peuvent stabiliser un système, mais qu’un bruit trop important est déstabilisant. Si les interactions entre les nœuds se limitaient à être dirigées et mutuellement bénéfiques, de petites perturbations de la structure du réseau augmentaient la stabilité. Cela contribue à résoudre le paradoxe de May (4), une contradiction entre diversité et stabilité où les modèles mathématiques traditionnels prédisent qu’un écosystème comportant une grande variété d’espèces en interaction est moins stable qu’un habitat plus simple présentant une moindre diversité d’espèces; certaines données empiriques indiquent le contraire. Les résultats de Montanari et al. suggèrent qu’en raison du bruit aléatoire, les systèmes présentant une dynamique plus complexe et une structure hétérogène sont plus susceptibles de bénéficier d’une stabilité accrue et pourraient être favorisés sur le plan évolutif.
Le mécanisme sous-jacent à cette stabilité favorisée par le désordre réside dans l’interaction entre la dynamique des nœuds et la structure du réseau. La compréhension de cette interaction revêt une importance croissante pour le contrôle des réseaux complexes (8). Elle peut donner lieu à des comportements collectifs surprenants qui semblent contourner la structure sous-jacente d’un réseau (9, 10) et peut nécessiter une dynamique bidimensionnelle pour assurer la stabilité (11). Dans le cas de paramètres hétérogènes, cette interaction peut coupler entre elles les différentes directions de déformation capturées par les vecteurs propres distincts de la matrice jacobienne, ce qui stabilise le comportement mais rend inapplicables les techniques standard d’analyse de la stabilité (12). Au-delà des considérations de stabilité, l’interaction entre l’hétérogénéité des paramètres et la structure du réseau peut donner lieu à l’apparition soudaine d’un comportement collectif, tel que la synchronisation à grande échelle (13). L’hétérogénéité des degrés est au cœur de la robustesse et de la vulnérabilité d’un réseau (14).
Montanari et al. montrent que la prise en compte du comportement bidimensionnel des nœuds, plutôt que du comportement de premier ordre traditionnellement le plus étudié (2), révèle un nouveau paysage de stabilité. Dans le domaine de la science des réseaux, cela souligne l’importance d’étudier la dynamique nodale d’ordre supérieur. Plus généralement, ces résultats réaffirment l’importance de se demander si des principes et des comportements fondamentaux sont perdus ou mal interprétés à la suite de la simplification d’un système complexe. Cela revêt une importance cruciale à l’ère des découvertes fondées sur les données. Les techniques conventionnelles, telles que l’analyse en composantes principales, réduisent la dimensionnalité des grands ensembles de données tout en conservant la variance, rationalisant ainsi la quantité d’information nécessaire pour décrire un système. Les algorithmes d’apprentissage automatique peuvent extraire des équations effectives de faible dimension qui se rapprochent du comportement des données de haute dimension (15). Mais qu’est-ce qui se perd au cours de ce processus?
Les résultats de Montanari et al. montrent qu’un faible degré de désordre peut constituer un atout pour faciliter les comportements collectifs. Les implications concernant les rôles du bruit et de la diversité dans la promotion de la stabilité s’étendent à de nombreux domaines, allant des sociétés humaines à l’homéostasie dans les systèmes biologiques. Les applications techniques d’une telle théorie comprennent les essaims de drones, les réseaux électriques et les algorithmes d’apprentissage profond. Le désordre du système pourrait s’avérer être un outil permettant d’améliorer la stabilité, dont la nature tire parti, et non un handicap.
Notes et références
- 1 P. W. Anderson, Science 177, 393 (1972).
- 2 Y. Kuramoto, Intl. Symp. on Math Problems in Theoretical Physics, vol. 39, Lecture Notes in Physics Series, H. Araki, Ed. (Springer, 1975), pp. 420–422.
- 3 F. Dörfler, M. Chertkov, F. Bullo, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 110, 2005 (2013).
- 4 R. M. May, Nature 238, 413 (1972).
- 5 R. Gast, S. A. Solla, A. Kennedy, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 121, e2311885121 (2024).
- 6 A. S. Satapathy et al., Energy Rep. 11, 3562 (2024).
- 7 A. N. Montanari, P. Zanin, A. E. Motter, Science 393, 1241 (2026).
- 8 R. M. D’Souza, M. di Bernardo, Y.-Y. Liu, Nat. Rev. Phys. 5, 250 (2023).
- 9 J. C. Alexander, B. Fiedler, Differential Equations, vol. 118, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics Series, C. M. Dafermos, G. Ladas, B. Papanicolaou, Eds. (Marcel Dekker, 1989), pp. 7–16.
- 10 M. H. Matheny et al., Science 363, eaav7932 (2019).
- 11 J. Emenheiser, A. Salova, J. Snyder, J. P. Crutchfield, R. M. D’Souza, Entropy 27, 501 (2025).
- 12 L. M. Pecora, T. L. Carroll, Phys. Rev. Lett. 80, 2109 (1998).
- 13 R. M. D’Souza, J. Gómez-Gardenes, J. Nagler, A. Arenas, Adv. Phys. 68, 123 (2019).
- 14 R. Albert, H. Jeong, A.-L. Barabási, Nature 406, 378 (2000).
- 15 S. L. Brunton, J. L. Proctor, J. N. Kutz, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 113, 3932 (2016).
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