Quelques réflexions sur les mathématiques en tant que technologie culturelle et sociale.
Traduction de Applied Pure Mathematics par Ben Recht sur Substack, le 18 septembre 2026.
Bonjour à tous, chers lecteurs d’argmin ! Avec la reprise du semestre d’automne, le nombre de publications va également augmenter. Je m’engage donc à rédiger de courts titres descriptifs pour vous aider à vous y retrouver parmi les différents fils de discussion.
De nombreux lecteurs m’ont demandé d’écrire sur la conquête des mathématiques par les entreprises d’IA. L’article d’aujourd’hui est une première tentative – mais en aucun cas la dernière – pour appréhender notre nouvelle réalité mathématique.
Au début de ma carrière, j’ai eu la chance d’être pris dans une frénésie de recherche fascinante à la croisée des mathématiques pures et appliquées : la ruée vers l’or de la détection compressée. La détection compressive s’interrogeait sur la possibilité de compresser les signaux au moment même de la mesure. Plutôt que de capturer une image avec un appareil photo haute résolution puis de la compresser au format JPEG, pourrait-on collecter un nombre d’échantillons égal au nombre d’octets du fichier JPEG ? La détection compressive s’appuyait sur des mathématiques avancées issues de l’analyse fonctionnelle géométrique, de la géométrie convexe et de la théorie des probabilités. Elle a donné naissance à de nombreuses applications techniques, allant de la réduction des temps de capture en IRM à l’amélioration des systèmes de recommandation de contenu.
Bien que l’on puisse constater l’influence de ce domaine dans de nombreux secteurs d’application, les mathématiques de la détection compressée n’ont jamais été véritablement normatives. Les théorèmes reposaient toujours sur des hypothèses concernant la réalité qui ne pouvaient être vérifiées ou exigeaient des systèmes de mesure trop coûteux ou peu pratiques. Pourtant, les mathématiques de la détection compressive nous ont aidés à nous concentrer sur une vision commune des principes de conception. Elles nous ont aidés à concevoir de nouveaux algorithmes. Elles nous ont aidés à construire de nouveaux schémas de mesure résistants au bruit. Elles nous ont aidés à identifier quelles autres structures de système se prêtaient aux techniques de détection compressive. Les mathématiques pures nous ont fourni un cadre pour entrevoir ce qui était possible.
Si ce formalisme mathématique s’est révélé d’une efficacité démesurée, il s’accompagnait d’un inconvénient manifestement néfaste. C’est Shahar Mendelson qui a le mieux décrit ce problème général des mathématiques pures appliquées dans une conférence qu’il a donnée lors du COLT 2014. Les mathématiciens appliqués doivent souvent construire un gigantesque échafaudage de modélisation mathématique pour résoudre un problème. Cet échafaudage engendre de nouvelles énigmes mathématiques qui ne sont pas directement liées au problème initial, mais qui séduisent ceux qui cherchent à le résoudre. On voit alors apparaître des dizaines d’articles de suivi qui résolvent ces énigmes, mais en oubliant le problème qui nous intéressait au départ.
C’est la culture du « problème ouvert », et elle est corrosive. Elle conduit à une chasse aux trophées, où les gens se livrent à une course pour devancer les autres, consultent des amis experts à la recherche d’idées secrètes, ou s’écrasent mutuellement avec des mathématiques toujours plus compliquées.
Cette fétichisation de la résolution d’énigmes comme signe de génie est depuis longtemps une tendance destructrice dans les mathématiques au sens large. Il est facile de se laisser emporter par le frisson que cela procure. Les mathématiques sont sans doute la discipline académique la plus méritocratique. Il y a des problèmes posés, et ceux qui les résolvent sont considérés comme les plus intelligents. Tout le monde oublie que la seule raison pour laquelle ces problèmes confèrent un statut, c’est que (a) ils sont actuellement non résolus et (b) un nombre suffisant de mathématiciens a décidé qu’ils valaient la peine d’être résolus. Cette partie (b) n’est pas méritocratique.
C’est pourquoi beaucoup sont perplexes et en colère contre les mathématiciens en activité qui tentent d’expliquer que la discipline mathématique consiste à comprendre, et non à prouver des choses. Pour de nombreux observateurs, même ceux qui aspirent à devenir mathématiciens, les maths semblent conçues comme une compétition dès le départ. Ce ne sont que des examens basés sur l’apprentissage par cœur jusqu’à l’université. Réussir haut la main le SAT à 7 ans. Remporter la médaille d’or de l’IMO à 14 ans. Obtenir le maximum à l’examen Putnam à 19 ans.
Votre récompense : la permission de travailler sur les énigmes de votre choix, sans avoir à vous justifier, pour le reste de votre vie. Les lauréats ne sont pas tenus d’expliquer quoi que ce soit. Ils doivent peut-être enseigner le calcul différentiel et intégral, mais ils ne sont pas obligés de le faire correctement.
Vu de l’extérieur, on comprend pourquoi les gens pensent que les mathématiques se résument à remporter ces concours et à prouver ce qui est vrai. Les mathématiques ne diffusent pas beaucoup de signaux indiquant que la « compréhension » est au cœur de cette quête. La plupart des gens perçoivent les mathématiques comme une culture de jeux télévisés. La culture mathématique est impitoyablement compétitive, et elle donne à beaucoup de gens le sentiment d’être stupides.
Les agissements de nombreux mathématiciens de renom n’ont fait que donner du crédit à leurs détracteurs. Les guerres pour la paternité des découvertes et la course à la primeur ont désormais ruiné deux des Problèmes du Millénaire de Clay. Cela devra changer à la lumière des événements récents, où des entreprises d’IA ont résolu des problèmes mathématiques que peu de gens pensaient à leur portée. Lorsque les ordinateurs accomplissent quelque chose que nous ne leur croyions pas capable de faire, la réaction ne devrait pas consister à rédiger des articles interminables expliquant qu’Eliezer Yudkowsky avait raison et que les machines vont tous nous tuer. Au contraire, nous devons réajuster notre cadre de référence concernant ce que nous pensions être vrai.
En effet, je n’ai rien appris sur la dynamique des fluides grâce à la solution proposée par OpenAI pour le problème de Navier-Stokes du Prix du Millénaire de Clay. Ce problème est exactement le genre d’énigme artificielle que je déplorais plus haut. La résolution du problème de Navier-Stokes en elle-même ne nous apprend rien sur la dynamique des fluides que les équations tentent de modéliser.
Cela dit, j’ai beaucoup appris de cette prétendue résolution. J’ai appris que le pas entre la résolution mécanique des problèmes de l’IMO et les Prix du Millénaire était bien plus court que je ne l’avais imaginé. Si l’on construit un algorithme doué pour résoudre les problèmes de l’IMO, et qu’on lui fournit les bons ingrédients et les ressources de calcul adéquates, on peut également résoudre des problèmes mathématiques complexes. Autrement dit, une grande partie des mathématiques consiste à entraîner des personnes à atteindre des performances maximales. Nous avons déjà créé une batterie de tests, soigneusement calibrés selon les meilleures méthodes psychométriques pour repérer les génies mathématiques. Entraîner des ordinateurs à optimiser ces performances revient finalement à résoudre ces problèmes eux-mêmes. Que sont les problèmes du Millénaire, sinon l’examen final de mathématiques de l’humanité ?
Malheureusement, cela semble tout à fait logique avec le recul !
Si telle est la leçon à en tirer, il y a une conclusion amusante. Même si l’on a l’impression qu’il faut être un prodige de l’IMO pour mettre les pieds dans l’arène mathématique, être un excellent résolveur de problèmes de l’IMO ne signifie pas pour autant que l’on deviendra un grand mathématicien. Pour cela, il faut faire appel à d’autres talents. Malgré les efforts de nombreuses personnes intelligentes et bien intentionnées, ces talents restent indescriptibles. Ils ne sont certainement pas mesurables à l’aune de critères de référence.
À l’ère d’une culture de l’intelligence artificielle résolument anti-intellectuelle, les mathématiciens, tant théoriciens qu’appliqués, doivent continuer à s’efforcer de définir clairement ce que sont exactement ces talents. Les déclarations formulées jusqu’à présent, qui décrivent en quoi les programmes mathématiques vont au-delà des valeurs de vérité de leurs théorèmes associés, constituent un bon début, même si elles ne font pas l’unanimité. Il faut que davantage de personnes prennent la parole pour raconter en quoi les mathématiques, même les plus pures, sont précieuses pour les scientifiques, les ingénieurs et tout le monde.
Je peux décrire ma propre expérience. Bien que je me soucie beaucoup moins de démontrer des théorèmes qu’au début de ma carrière, je me considère toujours comme un mathématicien pur appliqué. Les mathématiques appliquées constituent un langage formel qui jette un pont entre deux mondes apparemment inconciliables. Les mathématiques sont une pratique déductive qui combine des axiomes selon un ensemble de règles bien définies pour générer des lemmes, des théorèmes et des corollaires. Les sciences empiriques et l’ingénierie sont inductives. Nous confirmons les théories lorsqu’elles permettent de faire des prédictions correctes, en commettant délibérément le sophisme logique consistant à affirmer la conséquence. Cela ne rend pas la science erronée. Cela signifie simplement, comme David Hume nous l’a dit il y a trois cents ans, que les mathématiques ne peuvent pas justifier la science.1Un argument souvent avancé sur les réseaux sociaux est que, dès lors que les mathématiques céderont la place à l’IA, toutes les sciences suivront. Cela finira peut-être par être vrai. Les mathématiques ont certes été bouleversées de manière choquante cet été, mais ce n’est pas (encore) le cas de la science. Cependant, cela ne s’ensuit pas logiquement.
Les mathématiques appliquées constituent donc un langage logique permettant de décrire des processus inductifs. Elles sont, euh, d’une efficacité démesurée dans cette tâche. Comme je l’ai souligné plus haut dans ma discussion sur la détection compressive, elles ne peuvent jamais spécifier parfaitement ce que vous devriez faire dans la pratique. Au contraire, elles agissent comme une sorte de dessin technique linguistique, permettant aux communautés de scientifiques de construire des théories complexes et aux ingénieurs de construire des systèmes complexes. Les mathématiques pures fournissent aux mathématiciens appliqués de nouveaux stylos et pinceaux pour ces dessins.
C’est pourquoi j’apprécie (et j’ai utilisé tout au long de cet article) le terme de Jordan Ellenberg : mathématiques pures appliquées. Les mathématiques appliquées désignent souvent simplement les mathématiques des équations aux dérivées partielles. Les mathématiques pures appliquées désignent toute application de n’importe quelle branche des mathématiques à n’importe quoi en dehors du monde clos des mathématiques elles-mêmes. On ne sait jamais quel recoin insolite des vastes bibliothèques de mathématiques « apparemment inutiles » vous aidera à donner un sens à la réalité.
Permettez-moi de donner un exemple d’utilisation inattendue de ces outils, tiré de mon expérience lors de la ruée vers l’or de la détection compressive. Avais-je besoin d’étudier l’analyse p-adique en licence ? Peut-être pas, mais cela a ancré dans mon esprit un ensemble de régularités et de schémas. Je me suis souvenu du théorème de Bochner sur les groupes abéliens localement compacts lorsque Ali Rahimi et moi-même essayions de donner un sens à notre code générant des caractéristiques aléatoires. Cela a donné lieu à un article très intéressant ayant un impact pratique considérable. Le réseau de connaissances que j’avais tissé en suivant des cours insolites et en lisant des ouvrages mathématiques ésotériques a façonné ma vision de ce problème d’apprentissage automatique appliqué. L’IA serait probablement capable d’établir ce lien aujourd’hui, mais ma formation personnelle reste indispensable pour créer la consigne.
Lors du premier cours de mon premier cours de mathématiques à l’université, le légendaire professeur de Chicago Paul Sally (IYKYK) nous a aboyé qu’il n’était pas là pour nous enseigner des faits, mais pour remettre de l’ordre dans nos cerveaux. Sally a consacré sa carrière à l’enseignement des mathématiques, élargissant avec passion la conception de ce qu’est un mathématicien. Pour Sally, les mathématiques n’étaient pas une compétition. C’était une façon de voir les choses. Cela peut encore l’être, même si nos ordinateurs nous surpassent désormais.
Fichier Excel des traductions par Gilles en vrac
Fiches avec les premières phrases (et non seulement les titres)
Les caractères gras dans le texte sont de Gilles.
Notes
- 1Un argument souvent avancé sur les réseaux sociaux est que, dès lors que les mathématiques céderont la place à l’IA, toutes les sciences suivront. Cela finira peut-être par être vrai. Les mathématiques ont certes été bouleversées de manière choquante cet été, mais ce n’est pas (encore) le cas de la science. Cependant, cela ne s’ensuit pas logiquement. ↩︎